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当ブログを真似た行為は、全て読者様ご本人の責任において行ってください。
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2008-07-27 Sun 00:00
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明日はちょうど模試なもので こいつを正史にしちゃう。手抜きでごめんなさい。 珍しく昼執筆。 コメントより >1から自然数nまでの奇数の和をnを用いて表せ >(nは奇数にも偶数にもなりうる) >という問題を�僑造泙任涼亮韻撚鯏�することは可能？ IIICっていう分野は 極限と微積分 点の運動の軌跡を捉える 行列の演算と、行列による写像 大きく分けてこの3つしかないの。 整数列を〜項目まで足しましょうとか。 ある整数列を漸化式で定義しましょうとか それは数列分野のお家芸ですよね。はい。 まずはじめにやりたいこと。 0以上の任意の奇数は ある自然数kを用いて2k-1と表す事ができる。 つまり奇数列{Ak}の一般項はAk=2k-1。 ここまでは基本。 すると、この奇数列の和は 項数Nまで足し合わせるとするならば ΣAk[k=1〜N]=Σ(2k-1)[k=1〜N] =(中略)=N^2 シグマ記号の表記に制約があるため 本来の表記とは異なる形にせざるを得ないことを ここで断っておく。 読者諸君の賢明な理解により 表記の意味が伝わるものと期待したい。 ところで奇数列{Ak}の第N項目までの和が N^2と分かったところで この問題の85%は解決したと言える。 というか奇数列の和がn^2であることは あまりにも有名な事実なのであるが。 はい。 ところで問題は 『1から自然数nまでの奇数の和』であるから 自然数nまでに、果たして奇数が何個登場するのか。 自然数nまでに奇数が登場する個数=奇数列の項数 であるから、ここを確認したい。 ところが『nは奇数にも偶数にもなりうる』と、ある。 nにちょろちょろと動かれては鬱陶しい。 そこで、nの偶奇による場合分けが必然となる。 まずは、適当な値まで自然数の数列を具体的に検証してみよう。 n=7(nが奇数のとき) 1,2,3,4,5,6,7 これを [1] 2 [3] 4 [5] 6 [7] と偶奇を見やすく表現すると 奇数が全部で4つあることが分かる。 n=9(nが奇数のとき) 同じく [1] 2 [3] 4 [5] 6 [7] 8 [9]と表現すると 奇数が全部で5つあることが分かる。 求める奇数列の項数は(n+1)/2であることが 予想できる。 厳密な姿勢をとると この自然数の列は 「奇数に始まり、偶奇が交互に現れて、奇数に終わる」から (現れる奇数の個数)=(現れる偶数の個数+1) であるので (現れる奇数の個数)+(現れる偶数の個数+1) =2*(現れる奇数の個数) 一方 (現れる奇数の個数)+(現れる偶数の個数+1) =(現れる自然数の個数)+1 =n+1 であるから、 現れる奇数の個数、つまり 求める奇数列の項数は(n+1)/2[nが奇数のとき] と説明することもできるし 奇数列の項数は(n+1)/2という予想を立てて これを数学的帰納法で証明することも出来る。 偶数の場合も、同様にして求めればよい。 n=8(nが偶数のとき) 1,2,3,4,5,6,7,8 [1] 2 [3] 4 [5] 6 [7] 8と表現すると 奇数が全部で4つあることが分かる。 n=10(nが偶数のとき) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 [1] 2 [3] 4 [5] 6 [7] 8 [9] 10と表現すると 奇数が全部で5つあることが分かる。 求める奇数の個数はn/2という予想が立つ。 nが奇数の場合と同様に 「奇数に始まり、偶奇が交互に現れて、偶数に終わる」 という事実から (現れる奇数の個数)=(現れる偶数の個数) であることを用いて説明してもいいし やはりn/2を数学的帰納法で確認してもよい。 nが奇数の場合 項数N=(n+1)/2 nが偶数の場合 項数N=n/2 であることが分かったので あとは ΣAk[k=1〜N]=Σ(2k-1)[k=1〜N] =(中略)=N^2 に、代入計算するだけ。 この数列和をSnと置くと 答えは Sn=(n+1)^2/4[nが奇数] Sn=n^2/4[nが偶数] 検算しておこう。 n=6のとき 1+3+5=9 S6=6^2/4=9 n=7のとき 1+3+5+7=16 S7=(7+1)^2/4=16 n=8のとき 1+3+5+7=16 S8=8^2/4=16 n=9のとき 1+3+5+7+9=25 S9=(9+1)^2/4=25 正解でしょう。 はぁ。 大阪大学の文系学部入試なら このくらい基本の範疇にも入らないでしょ。ね。 受験勉強してたら、この程度のレベルの問題なら たくさん解くでしょ。はい。 いっぺん自分で解いてみたら これは数Bで解けるな、ってくらい 分かるんじゃないの？ 浪人生もてあそぶのは自重して。 あと 何の相談なのか説明して。 したくないならいいけど。 そういえば大学って9月に夏休みなんだよね。 F君は帰郷するのかな。 帰郷するんだったら 9月にPCパーツ買いまわるついでに 大阪遊びに行こうぜということ。 副会長来ます。 思うところがあれば連絡されたし。 大学の勉強忙しいだろうし もしかすると、帰郷してる暇すら無いのかな。 というわけで業務連絡。 明日は模試。 圧倒的破壊力で、まずは8割を目標に。 今日の成果(予定) センター演習 数学IAIIB 極選実戦編数IAIIB 速読速聴・英単語 即戦ゼミ ドイツ語 センター試験まで残り175日。 今日はこれにて。  |
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